Gauß-Vorlesung über Münzwürfe, Atome und Waldbrände

[Übersetzung des Transkripts automatisch erstellt]
Vielen Dank für die sehr freundliche Einführung und vielen Dank für die Einladung. Es ist mir wirklich eine Freude und Ehre, diesen Vortrag zu halten. Das Publikum ist sehr gemischt, es sind professionelle Mathematiker im Publikum, aber auch Schüler. Daher dachte ich, ich beginne mit einer sehr einfachen Frage: Was ist eigentlich Mathematik? Wenn man sich in der Schule mit Mathematik beschäftigt, lernt man natürlich vor allem, wie man rechnet. Ich glaube, ganz am Anfang lernt man, wie man Zahlen multipliziert, aber dann macht man vielleicht etwas kompliziertere Berechnungen, man lernt, wie man Gleichungen löst oder vielleicht, wie man Funktionen differenziert oder solche Dinge. Aber ich würde sagen, dass das Rechnen für die Mathematik vielleicht ein bisschen so ist wie die Rechtschreibung oder Grammatik für das Schreiben. Natürlich muss man die Grammatik beherrschen, um ein Buch schreiben zu können, aber das ist nicht wirklich das Wesentliche. Wenn man also ein Buch schreiben will, muss man sich eine originelle Geschichte mit einem sehr originellen Plot ausdenken. Und das liegt daran, dass man sie zu Papier bringen muss, man muss sie schreiben. Der wichtigste Teil der Geschichte ist die Handlung. Es ist die Geschichte, aber es ist nicht nur das Schreiben, auch wenn man natürlich, wenn man gut schreibt, eine sehr schöne Sprache verwenden kann, und das ist auch ein wichtiger Teil des Buches. Mit der Mathematik und der Informatik ist es ein bisschen ähnlich. Das, was Sie hier auf den Dias sehen, sind Computer, und bis in die sechziger oder siebziger Jahre war der Anfang des Computers die Arbeit. Ich meine, jetzt haben Sie natürlich einen elektronischen Computer und sogar in Finnland haben Sie alle einen sehr leistungsfähigen Computer in Ihrer Tasche, den Sie Telefon nennen. Aber bis zu den sechziger Jahren war es wirklich ein Computer. Computer, wissen Sie, ein Computer zu sein, war im Grunde ein Job, aber es war auch kein Job für Mathematiker. Es war eine Art mittelschwerer Beruf, und man wollte ihn ausüben. Wenn man sich für diesen Beruf ausbilden lassen konnte, dann war das eine einmonatige Ausbildung oder so etwas in der Art. Und dann konnte man ein Computer sein. Jeder kann also ziemlich schnell einen Computer bedienen, und dann kann man das als Beruf ausüben. Nun, heute gibt es diesen Trump natürlich nicht mehr. Aber du könntest es. Es ist also Mathematik, nicht Rechnen. Was ist es dann? Ich meine, bis zu einem gewissen Grad erforschen wir nur die Welt der Ideen. Und so ist es, wie in der Allegorie des Umschlags von Plato, von der ich weiß, dass die meisten von Ihnen sie kennen, die Idee, dass wir ein bisschen wie Menschen sind, die hierher kommen und nur Schatten der Welt der Ideen da draußen sehen. Und Sie versuchen, dieser Welt der Ideen einen Sinn zu geben, indem Sie nur einen Teil der Informationen, die wir sehen, mit den Problemen, die wir noch hervorrufen, Wolf, vergleichen. Und in gewissem Sinne ist die Mathematik wirklich die Erforschung dieser Welt. Diese Außenwelt ist die Welt der Ideen. Man versucht, in gewisser Weise Vertrauen aufzubauen und sinnvolle Sätze über Objekte zu finden, die wirklich keine logischen Widersprüche aufweisen. Wenn man das tun will, muss man versuchen, so präzise wie möglich zu sein. Man versucht, absolut präzise zu sein in dem, was man eigentlich meint, oder? Ein großes Problem besteht oft darin, Dinge so eindeutig zu definieren, dass man wirklich weiß, wovon man spricht, und in diesem Sinne ist der Beruf des Mathematikers ein bisschen wie das Gegenteil eines Politikers. Wenn man also Politiker ist, dann ist die Ungenauigkeit ein Merkmal, weil man etwas sagen will, das für verschiedene Leute etwas anderes bedeutet, entweder weil man, wenn man gewählt werden will, möchte, dass so viele Leute wie möglich mit einem übereinstimmen, aber die Leute stimmen nicht miteinander überein. Also muss man Dinge sagen, die für verschiedene Menschen verschiedene Bedeutungen haben. Und dann können alle mit dir übereinstimmen, auch wenn sie nicht mit dir übereinstimmen. Als Mathematiker macht man also genau das Gegenteil davon. Okay? Man versucht also, extrem präzise zu sein, so dass man, wenn man etwas sagt, genau weiß, was man sagt, und die Person, mit der man spricht, genau weiß, was man sagt. Was. Wenn Sie also wollen, dass alle Mathematiker der Welt sich über die Bedeutung Ihres Satzes einig sind. Und das ist im Grunde die einzige Möglichkeit, wirklich wahre Aussagen zu machen. Ich meine, heutzutage ist die Wahrheit fast so etwas wie eine altmodische Sache geworden. Ich meine, wenn man sich anschaut, was heutzutage in der Politik passiert, dann sind die Leute im Grunde genommen völlig zynisch und in gewisser Weise nihilistisch geworden und sagen, na ja, eigentlich kann man ja trotzdem über Wahrheit nachdenken, und Wahrheit existiert nicht mehr. Ich meine, die Mathematik ist vielleicht einer der wenigen Bereiche, in denen es wirklich eine Art absolute Wahrheit gibt. Aber die wirkliche Wahrheit tut wenig für so absolut, wie es die Logik eigentlich zulässt. Und weiter. Das ist also in gewissem Sinne, weißt du, Mathematik im Allgemeinen, das ist sehr abstrakt angelegt. Man versucht also, eine Schule der Logik aufzubauen oder zu beschreiben. Die Konzepte der Mathematik haben einen Bezug zur realen Welt. Ich meine, der Grund, warum die Mathematik so erfolgreich ist, liegt zum Teil an ihren Anwendungen zur Beschreibung der realen Welt und an den verschiedenen Möglichkeiten, die sie bietet. Die Aufgabe der Physiker besteht im Grunde darin, die Mathematik mit der realen Welt zu verknüpfen und mathematische Modelle zu entwickeln, die sinnvolle Aussagen über Phänomene der realen Welt liefern. Manchmal sind Physik und Modellierung also fast das Gleiche, nur dass man sich die Physik von unten nach oben und die Modellierung von oben nach unten vorstellt, in dem Sinne, dass Physiker versuchen, eine Art grundlegendes Verständnis der grundlegenden Prozesse in der Welt zu erlangen. Man versucht also, sehr grundlegende Prinzipien wie die Erhaltung der Finanzierung, die Erhaltung der Masse oder ähnliche Dinge zu finden. Und dann baut man darauf die physikalischen Gesetze auf, während man bei der Modellierung vielleicht von den physikalischen Gesetzen ausgeht, aber eher einen Top-Down-Ansatz wählt, bei dem man sagt: Nun, vielleicht ist dieses Phänomen zu kompliziert, um die Gesetze, die es regeln, von unten nach oben herauszufinden. Also versucht man, einige heuristische Ansätze zu finden, um es zu beschreiben. Trotzdem baut man ein mathematisches Modell, um bestimmte Phänomene der Realität zu beschreiben, und das gibt es nicht. Daher denke ich, dass die Verbindung zwischen Mathematik und Computern in der Art von Computern, fast so wie ein Computer im Sinne eines Telefons, etwas Besonderes ist. Es ist wirklich wie eine Art physische Verkörperung der Mathematik, ich dachte, es ist das, was in gewissem Sinne im Inneren eines Telefons vor sich geht. Wenn man ein Telefon programmiert, ist das im Wesentlichen Mathematik, und es kommt in gewisser Weise einer lebensnahen Manifestation der reinen Mathematik in der realen Welt so nahe wie möglich. Ich persönlich bin probabilistisch veranlagt, mein Gebiet der Mathematik ist also die Wahrscheinlichkeitsrechnung. Der größte Teil dieses Vortrags wird sich also damit befassen. Lassen Sie uns also aufhören. Ich meine, es gibt eine Sache, die an der Wahrscheinlichkeitstheorie interessant ist, nämlich dass wir alle eine intuitive Vorstellung davon haben, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist. Aber, wissen Sie, man kann trotzdem darüber streiten. Wenn man darüber nachdenkt, ist es nicht ganz klar. Ein Grund für diese Verwirrung ist vielleicht die Tatsache, dass es in gewisser Weise zwei verschiedene Phänomene in der realen Welt gibt, die wir beide als Wahrscheinlichkeit bezeichnen, und die nicht ganz dasselbe sind. Und die erste ist, wenn Sie so wollen, eine subjektive Art von Wahrscheinlichkeit, die in gewisser Weise mit Ihren Überzeugungen zusammenhängt. Um genauer zu sein, nehmen sie zum Beispiel nicht die folgende Situation an. Nächstes Jahr finden in den Vereinigten Staaten Wahlen statt. Und Sie können sich fragen, ob Trump zum Präsidenten gewählt werden wird. Und ich nehme die Aussage: “Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass er jetzt gewählt wird? Also denken Sie, die Wahrscheinlichkeit liegt bei, ich weiß nicht, 40%? Und was bedeuten diese 40% eigentlich? So möchte ich also Ihr Stück Papier verkaufen. Okay. Und das Stück Papier. Und das Stück Papier, wenn Sie dieses Stück Papier besitzen, dann bekommen Sie am Tag nach der Wahl, wenn Trump gewinnt, 100 €. Wenn er verliert, bekommen Sie nichts. Und dann ist das Papier, das Stück Papier, wertlos. Die Frage ist dann, wie viel sind Sie bereit, für dieses Stück Papier zu bezahlen? Und wenn Sie bereit sind zu zahlen, was ist dann der Höchstbetrag, den Sie zu zahlen bereit sind? Wenn Sie also bereit sind, 800 € zu zahlen, etwa 99 €, bedeutet das, dass Sie wirklich ziemlich sicher sind, dass er gewinnen wird, weil Sie sonst Geld verlieren. Wenn Sie aber nur bereit sind, 1 € dafür zu bezahlen, bedeutet das im Grunde, dass Sie nicht bereit sind, es zu kaufen. Das bedeutet, dass Sie im Grunde sicher sind, dass er verlieren wird. Wenn Sie bereit sind, 50 € zu zahlen, bedeutet das, dass Sie glauben, dass er eine 50-prozentige Gewinnchance hat. Wenn Sie bereit sind, 70 € zu zahlen, ich meine, um Ihnen eine Zahl von 70 € zu zeigen, hat er eine 70 %ige Chance zu gewinnen. Das ist alles. Okay. Das ist also eine ziemlich subjektive Definition von Wahrscheinlichkeit, wenn man so will, und zwar für Ereignisse, die sozusagen einmalig sind, weil das tatsächlich in einem Jahr passieren wird. Und ich sagte, dass es sich heute Abend nicht wiederholen wird. Es passiert nur einmal. Es gibt also eine andere Art von Wahrscheinlichkeit, die in Situationen auftritt, in denen man ein Experiment hat, das wiederholbar ist. Es handelt sich also um ein Experiment, bei dem man nicht weiß, wie die Wahl ausgeht, man kennt das Ergebnis nicht, man kann das Ergebnis nicht vorhersagen. Niemand hat die nötigen Informationen, um das Ergebnis vorherzusagen. Vielleicht wäre es sogar im Prinzip nicht vorhersehbar, aber man kann das Experiment wiederholen und sich dann fragen, wie oft die verschiedenen Ergebnisse auftreten. Das ist normalerweise die objektivere oder a posteriori-Definition einer Wahrscheinlichkeit, bei der man weiß, dass man z. B. tausendmal würfeln kann. Es ist dasselbe Experiment, auch wenn es nicht genau dasselbe ist, in dem Sinne, dass jedes Mal, wenn man würfelt, ein winziges bisschen anders gewürfelt werden kann. Aber für alle praktischen Zwecke ist es das gleiche Experiment. Man kann es so oft wiederholen, wie man will. Sie sagen also, dass die Wahrscheinlichkeit, dass man eine Sechs würfelt, eins zu sechs ist, was bedeutet, dass man, wenn man eine Million Mal würfelt, in einem Sechstel der Fälle eine Sechs erhält. Das ist, wenn Sie wollen, für die Mathematiker unter den Zuhörern der Unterschied zwischen der Ausweich- und der frequentistischen Sichtweise, über die Statistiker viel Zeit streiten. Ich meine, die Behauptung ist, dass es sich im Grunde um zwei verschiedene Arten von Konstellationen handelt, die beide in der realen Welt vorkommen. Und zufälligerweise werden beide durch das beschrieben, was wir Wahrscheinlichkeitstheorie nennen, aber eigentlich sind es nur geringfügig unterschiedliche Dinge. Aber wenn wir diese Wahrscheinlichkeiten haben, dann haben wir verschiedene Regeln, bis wir wissen, dass zum Beispiel, wenn man verschiedene Ergebnisse hat, die Wahrscheinlichkeit, dass das eine oder das andere passiert, die Summe der Wahrscheinlichkeiten ist. Schließt sich das gegenseitig aus? Genau. Das ist die Wahrscheinlichkeit, dass du eine Sechs hast, die Eins ist. Nehmen wir etwas davon mit in die Eins ist auch eine der Sechs. Die Wahrscheinlichkeit, dass du eine Eins über 349 hältst und diese in gewissem Sinne multiplizierst und dem Multiplizieren entspricht, ist sehr unabhängig, usw. Wir haben also verschiedene Regeln der Arbeit mit diesen Wahrscheinlichkeiten, aber das ist eben so wichtig. Man muss sie trotzdem zuordnen. Warum hat man Regeln für die Arbeit mit diesen Wahrscheinlichkeiten, wenn man sie einmal hat? Für bestimmte Muster? Aber man muss sich diese Wahrscheinlichkeiten für die einfachen Ereignisse ausdenken, um damit zu beginnen. Und es gibt im Wesentlichen zwei Leitprinzipien für die Durchführung der Aktion. Das erste haben wir bereits in den Beispielen für das Würfeln gesehen, nämlich die Symmetrie. Das ist also die Situation, in der man ein Experiment durchführt. Es gibt verschiedene Ergebnisse und die verschiedenen Ergebnisse sind in der Lage, zwischen ihnen zu unterscheiden. Aber was den Mechanismus des Experiments anbelangt, macht es keinen Unterschied. Das ist wie beim Würfeln: Man kann sehen, ob ein, zwei oder drei Ergebnisse auf einmal herauskommen. Aber wenn der Würfel völlig symmetrisch ist, macht es für die Entscheidung keinen Unterschied, ob er in der einen oder in der anderen Position ist. Dasselbe gilt für das Passieren des Punktes. Man kann sehen, ob es Zahl oder Zahl ist. Aber was die Münze betrifft, macht es überhaupt keinen Unterschied. In diesem Fall also, wenn man sich in einer Situation wie dieser befindet, in der man verschiedene Ergebnisse hat, aber in der Lage ist zu unterscheiden. Aber der Mechanismus, der sie hervorbringt, kann nicht unterschieden werden, dann ist es natürlich, all diesen Ergebnissen gleiche Wahrscheinlichkeiten zuzuordnen. Ich würde gerne festlegen, dass beide möglichen Ergebnisse völlig ununterscheidbar sind, so dass jedes von ihnen bei sechs Münzwürfen eine Wahrscheinlichkeit von eins hat, jedes von ihnen hat eine Wahrscheinlichkeit von zwei. Es gibt also nur zwei Ergebnisse, es sei denn, man hat wirklich, wirklich Glück. Der Kontrast. Und dann gibt es noch ein anderes Prinzip, das etwas subtiler ist, und zwar etwas, das viel weniger intuitiv ist, nämlich etwas, das Universalität genannt wird. Und es ist eigentlich ganz passend, dass Gauß’ Name damit verbunden ist, wenn man sich diesen Artikel ansieht. Was ist der zweite Teil davon? Universalität ist also die Tatsache, dass in Situationen, in denen man ein zufälliges Ergebnis hat, das aus vielen, vielen verschiedenen Zufallsereignissen entsteht, die sich zu einem Ergebnis verbinden. Dann hängt die Wahrscheinlichkeitsverteilung des Ergebnisses oft nicht sehr stark von den Details der Wahrscheinlichkeiten ab, die man all den zufälligen Ereignissen zuordnet, die sich zu einem Ergebnis verbinden. Eine Möglichkeit, wie dies zustande kommt, ist die so genannte Gauß-Verteilung, die nach Gauß benannt ist, der gleichen Politik, Gauß aus den Gauß-Vorlesungen. Und was ist die Gasverteilung? Nun, man kann zum Beispiel eine Münze nehmen und sie 100 Mal werfen und zählen, wie oft sie hochkommt. Wenn man also eine Münze 100 Mal wirft und schaut, wie oft sie Kopf zeigt, dann kommt sie im Durchschnitt 50 Mal heraus. Aber in der Regel sind es auch nicht genau 50 Pfund. Ich meine, manchmal sind es 27, manchmal sind es 51. Aber ich tue es nicht. Also habe ich dieses Experiment vielleicht tausend Mal gemacht und dann ein Histogramm erstellt. Ich schaue mir an, weißt du, wie oft ich 50 bekomme? Ich bin immer noch gegen 51, 49 und so weiter. Und so war ich hier bei den Experimenten, die ich meine, natürlich und habe auch nicht 100.000 mal gemünzt. Aber ich habe einfach den Computer gebeten, es zu tun und du weißt, du bekommst das Falsche so. Also in diesem speziellen Fall siehst du zum Beispiel Fünfziger in der Mitte der Fünften, ich habe eigentlich so 49 Köpfe bekommen. Also öfters als ich hundert und 51 gegen fünf Leute, oft in 50 zu sein. Aber es ist alles grob verteilt von einer Art Kurve wie dieser. Wenn man es also 10.000 Mal oder hunderttausend Mal macht, dann kommt es immer näher an diese Kurve heran. Und diese Kurve nennt man die Verteilung. Und das Schöne daran ist, dass es dieselbe Kurve ist. Die Kontrollen sind, wenn man diese Art von Statistik macht, für so gut wie jede Verteilung. Hier habe ich also einfach die Münze geworfen und gezählt, wie oft sie hochkam, z. B. gewürfelt und gezählt, wie oft ich eine Sechs bekommen habe, was nicht ganz dasselbe ist wie die Wahrscheinlichkeit, eine Sechs zu bekommen, nur eines meiner sechs Mittel zu bekommen, nämlich eins oder zwei. Aber wissen Sie, wenn Sie die gleiche Art von Experiment machen, wird die Kurve, die Sie erhalten werden, genau die gleiche sein. Sie wird ein wenig verschoben sein, wissen Sie, auf einer ausgewählten kleinen Skala. Das Problem wird genau dieselbe Kurve sein. Und in vielen, vielen Situationen ist es im Grunde immer so, dass man sehr kleine, zufällige Mengen hat, die mehr oder weniger unabhängig sind und die man addiert, wenn man eine große Menge produziert. Im Grunde zeigt sich also in jeder solchen Situation eine solche Verteilung. Und wenn man in einer solchen Situation ist, weiß man, dass man etwas abbekommt, und man muss nicht wirklich die Details der Verteilungen all der kleinen Dinge kennen, die sich zu etwas Großem summieren. Okay. Das ist also ein wirklich wichtiges Prinzip, denn es sagt uns, dass wir im Grunde genommen Vorhersagen über zufällige Systeme machen können, auch wenn man nicht alle Details des Mechanismus kennt, wie diese Systeme funktionieren. Die ersten beiden Prinzipien scheinen ziemlich klar zu sein, oder? Ich meine, das zweite Prinzip ist, dass meine Erklärung ein bisschen wischiwaschi ist. Das erste scheint sehr witzig zu sein, aber auch bei dem ersten Prinzip muss man ein bisschen vorsichtig sein. Denken Sie zum Beispiel an die folgende Situation. Sagen wir, ich habe zwei Umschläge und die einzige Information, die ich Ihnen gebe, ist, dass auf jedem ein Scheck ist und die einzige Information, die ich Ihnen gebe, ist, dass auf einem der Schecks doppelt so viel Geld ist wie auf dem anderen. Und dann öffnest du einen Umschlag und siehst, was auf dem Scheck steht, du darfst ihn dir ansehen. Und dann stelle ich dich vor die Wahl. Entweder du behältst das Geld oder du kannst deine Meinung ändern. Sie können es sich anders überlegen. Okay? Du kannst also den anderen Block nehmen, wenn du willst, also entweder doppelt so viel oder halb so viel. Wenn du es dir anders überlegst, kannst du die Kisten wechseln, weil du weißt, dass es die mit dem kleineren Betrag ist. Die Frage ist also: Was soll man tun? Nun, wissen Sie, wenn Sie Ihre Meinung ändern, wie viel bekommen Sie die Mühe, den ersten Umschlag, den Sie gebeten haben, zu retten? Also dann in den Umschlag, verliere ich, wissen Sie, die Hälfte Chance, dass dies doppelt so viel und die Hälfte mal tut halb so viel. Ich habe gesagt, der Durchschnitt ist ein halbes Mal stärker, aber auch die halbe Chance ist doppelt so viel, also 5/4 des Wertes. Du solltest also deine Meinung ändern, denn im Durchschnitt bekommst du wieder fünf Viertel von dem, was du, wenn du deine Meinung nicht änderst, aber es funktioniert für jeden Wert von x, gut findest. Sie brauchten also nicht einmal den Umschlag zu kennen, um zu wissen, dass dies der Fall ist. Du hättest also einfach das andere wählen sollen, bevor du das tust, sogar danach. Ich denke, das macht keinen Sinn. Was ist also das Problem hier? Das Problem ist, dass es sich so anhört, als ob eine dieser Situationen nicht von Vorteil wäre, aber das ist sie nicht. Wenn Sie wirklich so denken, dann ersetzen sie die zwei durch tausend und so. Sagen wir also, die andere Option ist der ganze Umschlag, wie ich weiß tausendmal so viel oder auf dem 1000-mal so aus, wissen Sie, dann ist es noch klarer, dass Sie ändern sollten. Ich denke, es ist eher eine halbe Chance, tausendmal mehr zu bekommen, und eine halbe Chance, praktisch nichts zu bekommen. Man sollte also immer wechseln, weil man im Grunde 500 Mal mehr bekommt. Aber wissen Sie was? Stellen wir uns eine reale Situation vor. Sie öffnen den Umschlag, sehen 10.000, was Sie tatsächlich tun werden, und Sie werden natürlich nicht wechseln. Und weil ich wirklich verrückt wäre, wenn ich Ihnen diese Million geben würde, muss ich nicht damit anfangen, und so, wissen Sie, also machen Sie es so, dass es sich wie eine nette kleine Matheaufgabe anhört. Sie haben diesen Akzent, der nichts bedeutet, aber es gibt wirklich einen Unterschied zwischen 1.000 € und 1.000.000 €. Es handelt sich also tatsächlich um eine nicht symmetrische Situation. Und deshalb ist das nur ein kleines, süßes Problem. Aber wissen Sie, das ist die Falle, in die man tappen kann: Man nimmt eine Situation aus der realen Welt und verwandelt sie in ein nettes kleines mathematisches Problem. Und dann, wissen Sie, machen Sie die Berechnung, Sie erhalten ein Ergebnis, und dann sagen Sie, oh, ja, okay. Das ist also das Ergebnis, das in der realen Welt zu erwarten ist. Und dann merkt man nicht, dass man das, was vor sich geht, dramatisch zu stark vereinfacht hat. Und es gibt Situationen, in denen das wirklich dramatische Folgen haben kann. So gab es einen Fall, der vielleicht zehn, 15 Jahre zurückliegt oder so ähnlich. In Großbritannien gab es eine Frau namens Sandy Clarke, und sie hatte ein Kind. Und mir ist aufgefallen, dass Babys manchmal aus ungeklärten Gründen sterben, wenn sie ein paar Monate alt sind. Es passiert sogar sehr schnell. Wir fanden heraus, dass es sich um das so genannte Plötzliche Kindstod-Syndrom handelt und was in diesem Fall alles passiert ist. Zwei Jahre später bekam sie ein weiteres Kind, und das Gleiche passierte wieder. Daraufhin wurden einige Leute misstrauisch, denn wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass so etwas zweimal in derselben Familie passiert? Vielleicht hat sie also tatsächlich ihre Kinder ermordet. Und so wurde sie beschuldigt, ihre Kinder ermordet zu haben, einfach auf der Grundlage, dass es extrem unwahrscheinlich ist, dass so etwas von alleine passiert. Es gab also einen Prozess und einen Sachverständigen, der für die Staatsanwaltschaft aussagte und sagte, dass in einer Familie mit diesem und jenem sozialen Hintergrund die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kind das plötzliche Kindstodsyndrom erleidet, etwa eins zu 20.000 beträgt. Die Wahrscheinlichkeit, dass es bei zwei Kindern in derselben Familie auftritt, ist also eins zu 20.000 mal mehr als 20.000. Es ist also eins zu 400 Millionen. Es ist also sehr unwahrscheinlich, aber das kann unmöglich passieren. Und so muss sie den Mieter getötet haben. Ich bin und sie wurde tatsächlich verurteilt, und sie sagte, wissen Sie, sieben oder acht Jahre im Gefängnis, bevor die Verurteilung gekippt wurde. Und natürlich wurde es aufgehoben, weil das Urteil völlig lächerlich war. Der erste Fehler besteht darin, zu glauben, dass einer von 400 Millionen wirklich gering ist. Ich meine, einer von 400 Millionen ist wirklich gering, aber das sind 20 Millionen Familien im Vereinigten Königreich und Milliarden von Familien auf der Welt. Die Wahrscheinlichkeit, dass es tatsächlich eine Familie trifft, ist also sehr hoch. Wenn man Lotto spielt, ist die Chance, dass man im Lotto gewinnt, sehr gering. Die Chance, dass jemand in der Lotterie gewinnt, und das passiert jede Woche. Ich meine, das hier ist natürlich das Gegenteil von einem Lottogewinn. Aber der andere Fehler war, die Wahrscheinlichkeiten einfach zu multiplizieren, denn das kann man für unabhängige Dinge tun. Aber es gibt keinen Beweis dafür, dass dies etwas Unabhängiges ist. Ich denke, es könnte sehr wohl eine genetische Komponente haben. Soweit ich weiß, ist das nicht ganz klar. Ich meine, man kann sich durchaus vorstellen, dass es eine genetische Komponente geben könnte. Und das bedeutet, dass, wenn ein Kind am plötzlichen Kindstod stirbt, es vielleicht einen genetischen Grund dafür gibt. Und wenn das der Grund ist, stehen die Chancen gut, dass das andere Kind die gleiche Krankheit hat und aus dem gleichen Grund sterben würde. Aber bis man eines hat, multipliziert man einfach naiv die Wahrscheinlichkeiten. Lassen Sie mich nun auf diese andere Frage zurückkommen. Es geht um das Prinzip der schönen Einsamkeit. Ich habe die Gaußsche Verteilung erwähnt, aber ich möchte auch eine vielleicht etwas ausgefeiltere Art von Universalität erwähnen, die sich zeigt und die in gewisser Weise der Diskussion über die Verteilung sehr ähnlich ist. Das ist also verwandt. Das ist die so genannte Brownsche Bewegung. Und die Brownsche Bewegung wurde nach einem Problem benannt. Er war also ein britischer Botaniker in den 1800er Jahren. Und was er tat, war, dass er Pollenpartikel unter einem Mikroskop betrachtete. Er hatte also einen Sinn für kleine Pollenpartikel. Und dieses Mikroskop und das, was er hier anwandte, man sieht diese Partikel, und was man sehen würde, ist eigentlich so etwas wie das hier. Wenn man sich diese Teilchen unter dem Mikroskop ansieht, sieht man, wie sie sich so bewegen. Ich mache diese etwas unruhige Bewegung. Und so versuchte er zu verstehen, warum sie das tun. Er hat natürlich sehr genau darauf geachtet, dass sich das Wasser selbst nicht öfter bewegt. Es lag nicht nur daran, dass sie irgendwie herumgefahren wurden. Am Anfang dachte er, vielleicht sind sie tatsächlich lebendig, aber sie sind wie diese winzig kleinen Tiere, die sich bewegen. Aber dann hat er sich vergewissert, dass das nicht möglich ist. Wir können sicher sein, dass sie nicht wochenlang unterernährt waren oder so, und dann haben sie die Wochen überstanden und waren immer noch so wie vorher. Es war ihm also ziemlich klar, dass sie nicht mehr am Leben waren. Es stellt sich also die Frage nach dem Warum. Warum haben Sie diese Quantenbewegung? Woher kommt sie? Und das ist tatsächlich eine Frage. Es ist interessant, weil die Menschen im viktorianischen England, nun ja, diese Frage tatsächlich die Vorstellungskraft der Allgemeinheit beflügelte. Sie war also ein Gesprächsthema für die High Society. Es ging um die Frage, ob man die Fliege verstehen kann, warum es diese Form, diese Emotion gibt, die Erklärung, die sich die Leute ausgedacht haben, und eine Art quantitative Version dieser Erklärung wurde dann tatsächlich von Einstein auf der Stelle geliefert, was gut war. Es geht also um die Eiswand und Feynmans Arbeiten von 1905, die aus zwei Teilen bestehen. Da ist natürlich der physikalische Grund, den wir inzwischen alle kennen. Wasser besteht aus Molekülen, und die Wassermoleküle verhalten sich wirklich ein bisschen wie kleine Milliarden Bälle. Sie bewegen sich also irgendwie nur in geraden Linien. Und wenn man will, ist die Temperatur des Wassers so etwas wie die Geschwindigkeit dieser Variablen, alle Tiere in alle Richtungen und völlig ungeordnet auf eine gute Art. Jetzt ziehst du also Teilchen ein. Ich meine, es ist ein sehr kleines Pollenpartikel, aber es ist riesig im Vergleich zu einem Wassermolekül. Man hat also ein riesiges Pollenteilchen, das von allen Seiten mit Wassermolekülen bombardiert wird, und jedes Mal, wenn ein Wassermolekül an ihm abprallt, gibt es ihm einen kleinen Schubs in die eine oder andere Richtung. Aber ein Wassermolekül ist so klein, dass man den Effekt im Grunde nicht sieht. Aber es gibt Milliarden und Abermilliarden von Wassermolekülen, die es die ganze Zeit schieben. Und der kumulative Effekt bewirkt, dass es sich tatsächlich bewegt. Und das ist es, was man unter dem Mikroskop sehen kann. Und Einstein hat die Zeit philosophisch gesehen auch quantitativ beschrieben, so dass man sogar vorhersagen kann, um wie viel sich die Zeit bewegen wird. Die mathematische Beschreibung, die sie gaben, war die so genannte Wärmegleichung. Sie besagt im Grunde, dass die Wahrscheinlichkeit, dass sich das Teilchen an einem bestimmten Ort befindet, sich mit der Zeit entwickelt. Stellen Sie sich vor, Sie sehen das Teilchen an einem bestimmten Punkt und dann schließen Sie die Augen und es bewegt sich zufällig weiter. Und dann versuchst du, etwa 1 Sekunde später vorherzusagen, wo es sein wird, da es sich zufällig bewegt, kannst du das nicht mit Sicherheit sagen. Das Einzige, was man angeben kann, ist eine Art Wahrscheinlichkeitsverteilung. Und es stellt sich heraus, dass diese Wahrscheinlichkeitsverteilung tatsächlich die Gaußsche Verteilung des ist. Andererseits steht sie auch im Zusammenhang mit der Wärmeentwicklung in einem festen Körper. Stellen Sie sich also vor, Sie betrachten nicht, wie sich die Wahrscheinlichkeiten entwickeln, sondern wie sich die Wärme entwickelt. Nehmen Sie zum Beispiel ein Stück Metall, das kalt ist, und erhitzen Sie es an einem Punkt, und dann fragen Sie sich, wie sich dieser heiße Punkt ausbreitet. Und das ist eigentlich mathematisch gegeben, es wird durch genau dieselbe Gleichung gegeben, die die Entwicklung der Wahrscheinlichkeit beschreibt. Und damit haben sie, da sie, Sie wissen schon, quantitative Vorhersagen haben, zwei Möglichkeiten, all die Koeffizienten, die in der Gleichung fallen, mit der mikroskopischen Beschreibung von Wasser als aus Molekülen bestehend, die es bilden, in Beziehung zu setzen. Es war so lustig, dass diese Vorhersagen und der Grund, warum sie so wichtig waren, darin bestand, dass es zu der Zeit nicht wirklich klar war, dass Materie aus Molekülen und Atomen besteht. Und jetzt wissen wir natürlich, dass Materie aus Atomen besteht. Und man kann Mikroskope herstellen. Das ist wirklich leistungsfähige Physik. Man kann einzelne Atome sehen, und das war lange Zeit die vorherrschende Hypothese. Die meisten Menschen glauben also, dass die Mutter aus Atomen besteht, aber es gab viele konkurrierende Hypothesen, und es gab nicht wirklich ein einziges Experiment, das keine andere Erklärung hatte. Und dies war das erste Experiment, für das es wirklich keine andere Erklärung gab. Und die Tatsache, dass Wasser aus Molekülen besteht, und die Tatsache, dass er es zwei Jahre später tatsächlich experimentell verifiziert hat und herausgefunden hat, dass die Vorhersagen, nach denen Einstein gefragt hat, wie weit sich diese Teilchen als Funktion der Größe und dieser positiven Vollzeitbasis bewegen, wenn man so will. Das ist lang. Aber diese Vorhersage war tatsächlich mit einer Genauigkeit von etwa 10 % korrekt, was die Debatte über die Existenz von Atomen beendete und 1926 den Nobelpreis dafür einbrachte, eben weil sie auf der Existenz von Atomen beruhte. Interessant ist, dass etwa zur gleichen Zeit ein junger Franzose auftauchte, der sich für etwas ganz anderes interessierte. Er interessierte sich für das, was wir heute als mathematische Finanzwissenschaft bezeichnen würden. Er interessierte sich also für den Aktienmarkt und wollte verstehen, wie sich die Preise, Sie wissen schon, die Aktienkurse entwickeln. Und die Geschichte, die er entwickelte, und seine These war im Grunde der folgende einfache Fall: Es gibt einen Aktienkurs und viele Leute kaufen und verkaufen die Aktien. Und jedes Mal, wenn jemand eine Aktie kauft, entsteht ein bisschen mehr Nachfrage. Das treibt den Preis in die Höhe. Und jedes Mal, wenn jemand verkauft, eine Aktie verkaufen will, treibt das den Preis nach unten. Und ich denke, dass viele Leute das in den meisten Fällen tun würden. Wissen Sie, Sie und ich, wir verkaufen Aktien für 100 oder 4.000 Euro. Auf Multimilliarden-Dollar-Unternehmen hat das keine Auswirkungen. Der einzelne Handel hat also winzige Auswirkungen, die meisten von ihnen. Aber es gibt viele, viele von ihnen. Und manchmal treiben sie den Preis nach oben, manchmal nach unten. Es gibt also einen kumulativen Effekt, der dazu führt, dass sich der Preis zwischen uns ein wenig unberechenbar bewegt und davonläuft. Und so sehen Sie, die Geschichte ist im Grunde genau die gleiche wie die mit der falschen Emotion, außer dass jetzt die Rolle des Korns der Politik gespielt wird, wissen Sie, der Preis des großen Unternehmens und die Rolle der Wassermoleküle wird von, wissen Sie, die Investoren kaufen die Aktien und verkaufen die schnell. Und in seiner Dissertation hat er auch die Wärmegewinnung entwickelt. Er setzte also auch Luft ein. Also eigentlich wird die Entwicklung des Plasmas durch diese Frage beschrieben und jetzt beschreibt es die Wahrscheinlichkeit, dass der Preis eher als die Wahrscheinlichkeit einer Position auf bestimmte Werte ist. Und das ist im Grunde genommen die Grundlage der modernen Finanzmathematik. Und ich denke auch, dass einige der komplexeren Rollen, die dann den Nobelpreis bekamen, nicht in den Wirtschaftswissenschaften, sondern wirklich nicht viel damit zu tun hatten. Er war also in gewisser Weise zu früh dran. Und die französischen Formeln der damaligen Zeit waren von seiner Arbeit nicht besonders beeindruckt. Und sie dachten auch, dass es keine besonders großartige, nützliche Mathematik war. Und wie, Sie wissen schon, beschreibt diese niederen materiellen Fragen von, Sie wissen schon, einfach Preise des Vertrauens und solche Dinge. Und so hatte er es wirklich schwer, einen Job zu finden. Er hatte zu diesem Zeitpunkt eine Stelle an der Sorbonne. Aber dann kam der Erste Weltkrieg und er verlor sie. Er musste in den Krieg ziehen. Und als er zurückkam, waren die Probleme verschwunden. Die meiste Zeit seines Lebens hat er dann Privatunterricht gegeben. Und er, wissen Sie, er bekam seine feste Anstellung in seinen späten Fünfzigern oder so ähnlich. Er hatte also ein bisschen Pech. Sie sehen also, dass es bei diesen beiden Geschichten um zwei Situationen geht, die im Prinzip völlig unterschiedlich sind. Auf der einen Seite sieht man Pollenkörner, die sich im Wasser bewegen. Auf der anderen Seite betrachtet man die Entwicklung von Aktienkursen, und die Geschichten, die man darüber erzählt, sind irgendwie ähnlich. Ich glaube, in beiden Fällen gibt es viele kleine Dinge, die die Tatsache des kumulativen Effekts überdecken und dafür sorgen, dass sich die letzte Sache bewegt. Das sind im Grunde die gleichen Geschichten in beiden Fällen. Und diese Allgemeingültigkeit sagt einem irgendwie, dass hinter beiden Gleichungen langfristig dieselbe Mathematik steckt. Wenn Sie also tatsächlich etwas echte Mathematik daraus machen wollen, sage ich Ihnen eins. Also, ich habe schon erwähnt, dass es eine überhitzte Frage gibt, die nicht ganz richtig ist, aber das sagt Ihnen nicht wirklich, wie diese Dinge aussehen. Was man wirklich machen möchte, ist, irgendwie zu sagen, na ja, wenn ich mir zum Beispiel den Verlauf meines Aktienkurses anschaue, wie sieht der eigentlich aus? Die Funktion der Zeit. Mathematisch gesehen bedeutet das, dass man so etwas wie eine kontinuierliche Zufallsfunktion konstruieren möchte, die einem sagt, wie sich der Aktienkurs bewegt. Und das wurde eigentlich von Venus gemacht. Er war also ein Mathematiker, kein Finanzwissenschaftler. Und das sieht dann so aus. Nun, eigentlich habe ich ein Gedächtnis für diese eine. Hier ist sie also. Ich bin diese horizontale Aktie, die vertikale. Und hier denken Sie, es gibt dieses idealisierte mathematische Objekt, das man jetzt den Visaprozess nennt, der diese Entwicklung beschreibt, und das ist eine Zufallsfunktion. Und hier habe ich ein Beispiel aus dieser Zufallsfunktion genommen und dann habe ich dieselbe Funktion immer weiter herausgezoomt. Ehrlich gesagt, es bewegt sich nur, weil ich heranzoome. Und dieses Problem, das Sie sehen, ist nur, um zu sagen, dass die Art und Weise, wie ich das jetzt mache, das Problem von Angesicht zu Angesicht ist. Ich zoome horizontal um den Faktor zwei heraus. Ich muss tatsächlich mit diesem Werkzeug und der Vertikalen um das Quadrat herauszoomen. Ich muss so vorgehen, dass ich davon ausgehe, dass das Problem bei der nächsten Sitzung behoben ist. Wenn Sie wollen. Und wenn man auf diese Weise herauszoomt, dann sieht es immer irgendwie gleich aus. Es hat also eine Art fraktales Selbst, eine ähnliche Art von Verhalten. Und in jüngerer Zeit geht es zum Beispiel um die Schule. Hier haben wir ein mathematisches Theorem bewiesen, das in gewisser Weise die Aussage quantifiziert, dass viele Dinge, die sich auf diese Weise verhalten. Wenn man sie in einem sehr großen Maßstab betrachtet, sehen sie aus wie dieser Prozess, der dieses idealisierte mathematische Objekt ist, das ich Ihnen gerade gezeigt habe. Okay? Zum Abschluss möchte ich Ihnen noch ein wenig von der Mathematik vermitteln, über die ich bisher gesprochen habe. Es ist ein grundlegender Standard. In den fünfziger Jahren ist es meistens 1820. Dies ist dies war 500 Jahre alt Vordenker der. Ich möchte Ihnen nun einen kleinen Einblick in das Anleihenmodell geben, d. h. in die jüngste Mathematik der letzten fünf Jahre, der letzten zehn Jahre. Und so sieht die Situation aus. Sie fragen sich nach den Fluktuationen der Schnittstellen-Wachstumsmodelle. Nun, stellen Sie sich vor, dass es eine zweidimensionale Oberfläche gibt, und zwar in zwei Arten. Zum Beispiel ist hier an der Oberfläche der Wald, und es gibt einen Waldbrand. Okay? Es gibt also eine Hälfte der Oberfläche, das ist der Teil, der verbrannt wurde. Und dann gibt es den anderen Teil, das ist der Teil, der kein Holz ist. Und es gibt eine Schnittstelle zwischen den beiden, die die gleiche Form hat und die gleiche von hier aus bewegt sie sich eindeutig in eine Richtung. Es bewegt sich immer in die noch nicht feste Richtung. Und das, was man sieht, ist, dass man sich diese Flammenform anschaut und man sieht, dass sie mehr oder weniger wie eine gerade Linie ist, aber sie ist nicht ganz fest. Und so ist es im 14. Arrondissement, wissen Sie, wissen Sie, das ist, weil einige Behälter brennen ein bisschen besser, einige Bits sind weniger gut, aber es ist die gleichen Bits, wo es war bei der Aussicht, dass es ein bisschen langsamer war. Und dann kann man sich fragen, ob es eine Art idealisiertes mathematisches Objekt gibt, das die Fluktuationen des Seltsamen beschreibt. Aber dieses Mal ist es nicht nur eine zufällige Funktion des Raums. Es ist eine fortlaufende Funktion von Raum und Zeit, denn die Funktion bewegt sich wie eine zufällige Bewegung und die gleiche Situation zeigt sich in verschiedenen Kreisen. Das hier ist ein Bild aus einem Experiment über Flüssigkristalle. Es ist also ein Flüssigkristall, wie der Flüssigkristall. Es handelt sich also um eine Art Flüssigkristall, der sich in zwei Phasen aufteilt, wie z. B. ein Fernsehbildschirm. Und sie haben unterschiedliche optische Eigenschaften unter dem Mikroskop. Man sieht den Unterschied. Ich nehme an, die eine Art sieht aus, aber die andere, die quadratische, ist ein bisschen stabiler als die andere. Sagen wir also, die Tafel ist etwas stabiler als die graue Tafel. Also, was man macht, ist, dass man zuerst den Grad-Zustand vorbereitet, und dann nimmt man einen Laserstrahl und benutzt einen kleinen Zapper für den Laserstrahl darüber. Und wenn der instabile Zustand etwas abbekommen hat, gehe ich rein. Es wird in den Flips in den gleichen Zustand aktiviert. Wenn man es also mit dem Laserstrahl trifft, wird es schwarz und dann ist das schwarze Ding stabiler mit dem Punkt. Was Sie also sehen, ist zunächst ein kleiner Bruch. Die Nachricht, die mit dem Laserstrahl passiert ist, man sieht eine schwarze Linie und dann wird die schwarze Linie größer, weil das Schwarz stabiler ist. Und dann sieht man hier den Rand der schwarzen Linie. Sie ist also nicht ganz gerade. Sie scheint ein bisschen schwach zu sein, so wie hier. Und dann fragt man sich: Wie verhalten sich diese Wackelkontraste? Ist das ein natürliches mathematisches Modell dafür, wie sie auch mit einigen zufälligen Massenmodellen aufwarten können, die eine ähnliche Eigenschaft haben? Hier zum Beispiel, das nenne ich das Texas-Modell, auf das Tetris-Steine herunterfallen. Hier haben Sie also einen großen Haufen von Tetris-Steinen, die Sie sich einfach vorstellen. Der Bildschirm ist wie ein Tetris-Spiel. Die Tetris-Bausteine purzeln also herunter und fallen den Mast hinunter, ohne dass man es plant. Also fesseln sie es einfach, bis man so etwas sieht. Aber es ist ein bisschen ähnlich, in dem Sinne, dass es jetzt zwei Bereiche gibt: unten ist der Bereich, der sich mit Tetris-Steinen füllt. Und oben ist der Bereich, der noch keine Steine hat. Und während es hier eine Art von ja, es ist eine Art von grob an der Grenze zwischen den beiden Regionen zentriert werden, aber Sie sehen nicht wirklich viel, aber Sie können herauszoomen. Sie sehen, dass wir herausgezoomt haben. Ja, ich sehe ungefähr so etwas. Jetzt laufe ich also in meinem Phosphor, bis die Tetris-Steine irgendwie superschnell herunterfallen. Und jetzt halte ich das mal an. In Ordnung, jetzt siehst du wirklich, dass ich das gesehen habe. Da ist die Region hier, die voller Ziegelsteine ist. Dann gibt es den Bereich hier, der keine Steine hat. Und es gibt eine Art Schnittstelle zwischen den beiden, die in etwa so aussieht. Und die Schnittstelle bewegt sich. Jetzt bewegt sie sich, sie bewegt sich. Und jetzt können Sie sich fragen: Wenn ich mehr und mehr herauszoome, erhalte ich dann eine Art idealisiertes Bild, richtig? Ich kann also noch mehr herauszoomen. Ich fahre noch schneller. Sie erhalten dann so etwas wie das hier. Anstelle eines idealisierten mathematischen Modells, aber in diesem Kontext, ist es einfach so, dass wir Richtlinien haben, die eine idealisierte Form von emotionalen Aktienkursen beschreiben. In diesem Fall handelt es sich also um etwas, das jetzt beschrieben worden ist. Aber das ist mein Punkt aus den letzten fünf oder sechs Jahren oder so. Also die erste tatsächliche Beschreibung dieses Objekts wurde im Jahr 2016 gemacht, ich glaube von 15 oder so etwas wie das war sehr teuer und neu und was kann tatsächlich dieses Objekt zu beschreiben. Aber zum Beispiel ist das Verständnis immer noch bei weitem nicht so gut wie das, was wir für falsche Emotionen haben. In dem Sinne, dass es ein paar Spielzeugmodelle gibt, zum Beispiel für dieses Tetris-Steinchen-Modell, gibt es überhaupt kein Theorem. Ich meine, es sind ziemlich einfache Gefühle, aber sie sagen im Grunde nichts über die Fluktuationen aus. Es gibt ein paar sehr, sehr spezifische mathematische Modelle, die diesem großen Tetris-Modell ein wenig ähneln, für die man tatsächlich zeigen kann, wenn man auf die richtige Art und Weise herauszoomt, dass es eine Grenze gibt, und man kann die Grenze tatsächlich beschreiben. Aber die Beschreibung der Grenze ist ziemlich kompliziert. Und es ist irgendwie interessant, weil die Beschreibung des Grenzwerts mit einigen dieser verschiedenen Variablen zusammenhängt, plus dem Gleichgewicht, das als Matrix-Theorie bezeichnet wird, die im Gefängnis nichts zu suchen hat. Wissen Sie, und wir haben hier eine Situation gesehen, die ich viel besser verstehe, nämlich Situationen, in denen die Zitate symmetrisch sind. Auch die Jahresschwankungen waren völlig asymmetrisch in dem Sinne, dass die Tetris-Steine, die einzigen Pylonen, nur nach oben gehen, nie nach unten. Die Flammenfront brennt immer in eine Richtung. Man kann sich nie auf ihnen zurückziehen. Und wenn der Wald einmal verbrannt ist, gibt es keine Experimente mehr auf der Erde. Bis auf den Flüssigkristall, und der ist immer schwarz, wird die Wasserstoffregion niemals in den Irak gelangen können. Aber es gibt auch andere Situationen, in denen man sich vorstellen kann, dass zwei Regionen miteinander konkurrieren, und zwar auf gleicher Augenhöhe. Und dann können die Schwankungen in beide Richtungen gehen. Und diese sind viel besser zu verstehen. Und dann versteht man tatsächlich sehr gut, was der begrenzte Film ist, wenn man so will, und er hat eine Beschreibung, die der Brownschen Bewegung in Bezug auf Geld und Verteilungen sehr viel ähnlicher ist, sozusagen. Und dann kann man sich fragen, was ist, wenn wir in einer Situation sind, in der es nicht symmetrisch, aber fast symmetrisch ist, ich würde sagen, es gibt zwei Regionen. Die eine ist ein kleines bisschen stabiler als die andere. Es geht also darum, in die andere Region einzudringen, aber sehr langsam und die meisten Schwankungen sind recht symmetrisch. Aber dann, wissen Sie, dringt sie ein wenig ein, und es stellt sich heraus, dass, wenn man nicht zu weit herauszoomt, man im Grunde dasselbe sieht, als wenn es symmetrisch wäre. Wenn man sehr weit herauszoomt, ist das, was man sieht, genau dasselbe, als wenn es völlig asymmetrisch wäre. Und dann gibt es noch das so genannte Crossover-Regime, bei dem man irgendwie von einer Situation in die andere wechselt. Und es hat sich herausgestellt, dass es auch hier eine Art universelles Verhalten gibt. Es gibt also eine komplizierte Gleichung, die ich hier aufgeschrieben habe, eine stochastische partielle Differentialgleichung, und es ist eine Art universelle Gleichung, die das Crossover-Regime beschreibt. Sie ist eine Art universelle Gleichung, die das Crossover-Regime beschreibt. Wie Sie wissen, gibt es inzwischen eine Reihe von Theoretikern, die sich damit beschäftigt haben, und die Ihnen sagen, dass es viele Situationen dieser Art gibt, in denen genau dieselbe Gleichung auftaucht und diese Art von Crossover-Regime beschreibt. Das Interessante an dieser Gleichung ist, dass ich sie nicht näher erläutern möchte, da es sich hier um einen Auszug aus der Realität handelt. Aber es gibt hier einen Term, der das Quadrat der Steigung der Lösung ist. Aber wie Sie sehen, haben Sie schon ein wenig aus dem Film gesehen. Diese Dinge neigen dazu, wirklich ziemlich grob zu sein. Ich habe einen anderen Film gesehen, in dem die Lösung dieser Gleichung ungefähr so aussieht. Und was man hier sieht, ist, dass, wenn ich diesen Film einfriere, ich weiß nicht, $1 hier drauf fällt, also werde ich die Zeit nicht sehen. Okay. Wie auch immer, Sie können sich vorstellen, wie es aussieht, wenn man diesen Film einfriert, und Sie sehen, dass er so aussieht wie einer von diesen. Aber die Emotionen, weißt du, in der Raumzeit und dass wir gesehen haben, dass es ein Selbstkino war, war diese Art von Problem, die Bewegung könnte, was bedeutet, dass im Grunde an jedem Punkt die Steigung irgendwie einfällt und weil es fast tangential zu diesem Problem ist, kommt es hochgezoomt und es bringt, weißt du, diese Gleichung ist einfach völliger Unsinn, weil das hier das Quadrat der Steigung der Steigung ist unendlich an jedem Punkt. Es ist also ein Teil der Gleichung auf der rechten Seite, das ist einfach die große Unendlichkeit. Und während wir hier mit einfachen Mitteln nicht spucken, ist das die Sache, die es schädlich macht und die es letztendlich sehr unregelmäßig macht. Und so in gewisser Weise muss man die Gleichung wirklich gleich daneben schreiben mit einer Art Minus und Dreieinigkeit und was bedeutet das dann? Also wir haben den Gleichungsteil und weißt du, also unten auf dem Teil des Materials, das ich eigentlich auf der rechten Seite bin, kannst du dich fragen, ob du solche Gleichungen machen kannst. Eigentlich haben wir ein V, richtig? Und es geht nicht nur darum, welche Art von mathematischen Fragen es wirklich gibt. Sie zeigen dir die Art von Modellen, die auftauchen, und dann kannst du wirklich vergleichen, wenn du dem Ganzen eine mathematische Bedeutung gibst, ist es nicht dasselbe wie das, was tatsächlich auftaucht. Und es stellt sich heraus, dass man das tun kann. Und ich denke, ich höre hier auf. Ich danke Ihnen sehr für Ihre Aufmerksamkeit.

[Transkript automatisch erstellt]
Es ist mir eine große Ehre, heute hier sein zu dürfen und ich freue mich sehr, Sie oder, wenn ich es mir erlauben darf, für die nächsten 50 Minuten Euch auf eine gemeinsame Reise mitzunehmen. Wir haben uns ziemlich viel vorgenommen, eine interaktive Reise und zur Vorbereitung gibt es einen Aufruf und zwar ist mitexperimentieren oder mitspielen erlaubt. Das heißt, ihr dürft, wenn ihr Laptops, iPads oder Tablets oder Mobiltelefone dabei habt und wollt, dürft ihr die gerne auspacken und ich erkläre gleich, wie das funktioniert und ihr dürft mitspielen. Also wir experimentieren hier und es ist auch insgesamt ein Experiment hier mit einem vollen Hörsaal, Experimente durchzuführen, also das ist ein Doppel -Experiment heute. Genau, das ist die erste Reisevorbereitung, die zweite Reisevorbereitung. Hier, Fragen sind wichtiger als Antworten, ich habe hier noch ein Sternchen dazu gemacht, Antworten sind schon auch wichtig, aber ich finde als Mathematiker oder Mathematikerin, ist Fragen stellen total wichtig und die Freude am Nicht-Verstehen, das ist vielleicht auch das Erste, was man lernen muss, wenn man Mathematik studiert oder macht, dass man sich richtig freut, wenn man mal was nicht versteht und weil dann kann man wieder Neues lernen und hat irgendwie wieder eine Herausforderung. Ich lade euch ein, jetzt leise, im Nachhinein können wir vielleicht auch noch laut Fragen zu stellen, aber die Fragen schön mitzulocken und mitzuforschen hier mit dem Nicht-Verstehen, da kann man ganz, ganz viele Fragen stellen. So, wie funktioniert das? Ihr habt auf dem Programmheft auf der zweiten Seite links den Link dabei und auch nochmal den QR-Code. Man kann sich dann aber auch merken, t1p, das muss man sich auswendig merken, .de ist einfach und cfg ist Karl-Friedrich Gauss, also t1p.de slash Karl-Friedrich Gauss. Damit es noch einfacher wird, habe ich auf allen Folien immer ganz rechts oben die Webseite auch mit dabei. Gut, und wir starten gleich los mit dem ersten Experiment, einem Lichtbillard. Wenn ihr die Webseite auf habt, dann sieht es so aus. Hier die Gauss-Vorlesung und hier sind ganz viele, ganz viele Links. Schauen wir mal, wie viel wir schaffen. Es gibt hier manchmal auch noch mehr Infos dazu zu den einzelnen Sachen. Wir starten jetzt mit dem ersten Lichtbillard. So, wie funktioniert ein Lichtbillard? Ich habe einen Lichtstrahl, den schicke ich raus. Die Kreise, die wir hier sehen, das sind Spiegel und der Lichtstrahl, der fällt ein, mit dem gleichen Winkel kommt er wieder raus. Das machen wir immer wieder. Wir iterieren sozusagen den Lichtstrahl und wir können hier die Kreise größer und kleiner machen. Wir können die verschieben und wir können den Lichtstrahl hier zum Beispiel auch in den Kreis hineinsetzen und können dann den Winkel verstellen, wo der Lichtstrahl hingesetzt wird. Wir können es größer und kleiner machen und kann man jetzt ganz gut herum experimentieren. Man kann zum Beispiel hier ein sehr symmetrisches Muster einfach stören, indem ich hier noch einen kleinen Kreis reinschiebe zum Beispiel und bekomme so chaotische Verhalten. Es ist auch ganz spannend. Man hat was Schönes Symmetrisches und macht hier noch eine kleine Änderung, so eine kleine Störung und es wird sofort chaotisch. Sie können sich fragen oder ihr könnt euch fragen, was passiert. Kann ich vorhersagen, wo dieser Lichtstrahl landet nach 100 Iterationen zum Beispiel und man kann auch hier zum Beispiel einen Kreis mit hier reinnehmen und den hier reinnehmen, verschieben und schöne Muster erzeugen. Es gibt einen Mathematiker, Sultan Palma, der hat sich gedacht, ich nehme jetzt diese Kreisspiegel, gebe denen ein schönes Muster und versuche mal damit Muster zu erzeugen. Also ich mache so ein Gitter an diesen Kreisscheiben. Der hat ein Programm entworfen, das gibt es auch hier verlinkt unter den Infos. Das Programm muss man installieren und da kann man jetzt einfach diesen Lichtstrahl durch diese Spiegelgitter hindurchschicken und schauen, was da rauskommt. Also man hat ein Lichtstrahl und was ganz spannend ist, man kann hier zum Beispiel, es gibt hier verschiedene Gitterformationen und es gibt hier unter anderem einen Goethe-Faust Teil 1. Er hat so eine Symbolkarte, die habe ich jetzt leider gestern nicht mehr gefunden, schnell, aber er hat sozusagen das Muster von diesen Lichtreflektionen in Buchstaben umgewandelt und hat hier den Anfang von Goethe-Faust geschrieben. Ich habe den auch hier nochmal extra rausgesucht. Ihr naht euch wieder schwankende Gestalten, die früh sich einst im trüben Blick gezeigt, ist hier kodifiziert und das Spannende ist, wenn man jetzt hier reinschaut, man braucht natürlich, um sowas zu schreiben, eine sehr hohe Genauigkeit. Also wenn ich jetzt hier mal reinschaue, dann hat man hier zum Beispiel die Position, die Höhe von diesem Lichtstrahl hier, die hat 1039 Kommastellen. Ich gehe jetzt mal hier zur Kommastelle 100 und ändere jetzt mal hier, mache mal aus dem Fünfer zum Beispiel eine 4 und dann sieht man, kommt was ganz anderes raus. Das heißt auch hier, wenn ich das hier drehe, sieht man schon, es ist gar nicht so einfach und man muss schon mit sehr viel Mathematik ganz genau berechnen, aber theoretisch könnte man hier den ganzen Goethe-Faust kodifizieren. Erstes Experiment. Es geht weiter. Wir machen jetzt mal eine Fischschwarm-Simulation. Gehen wieder zurück in unsere Liste und haben jetzt ein so ein einfaches dynamisches System mit Fischen, das sind so Agenten hier und jeder Fisch schwimmt nach gewissen Regeln. Man hat hier so Regler und kann sagen, Fisch schwimm bitte schnell oder langsam, Fisch schwimm mit deinen Nachbarn mit und zwar mit null Nachbarn, okay, da passiert nicht so viel, schwimm bitte mit deinen fünf Nachbarn mit und schwimm auch zu den Nachbarn hin. Mal schauen, was passiert und jeder Fisch macht genau das Gleiche. Also jeder einzelne Fisch bewegt sich nach diesen Regeln. Jetzt könnt ihr mal versuchen, irgendwie einen großen Fischschwarm zu erzeugen. Man sagt, okay, wir machen viele Nachbarn, ich habe einen Fischschwarm oder weniger Nachbarn, dann schwimmen die so herum und das Spannende ist, dass jeder Fisch genau dasselbe macht, nach den gleichen Regeln agiert, aber insgesamt ein globales Schwarmverhalten entsteht. Man kann die Fische auch füttern, indem man hier mit der Maus hineinklickt. Das funktioniert natürlich auch immer gut und das sind so Objekte, wo die Fische nicht durchschwimmen können. Was hier spannend ist, genau so Systeme, ich weiß nicht, ob jemand von euch das Game of Life kennt, das ist ein zellulärer Automat, aber das ist im Prinzip ganz ähnlich. Man hat sozusagen eine Regel an jeder Stelle genau gleich. Man arbeitet ein bisschen mit den Nachbarn, so wie hier. Also ich weiß schon, wo sind meine Nachbarn und kann aber damit im Prinzip, gibt es auch eine schöne Theorie dazu, Turing completes, also im Prinzip alle Algorithmen der Welt über so Regeln abbilden. Gut, nächstes. Genau, die Linkliste bleibt auch online, also ihr könnt dann auch später noch in Ruhe weiterspielen. Surfer, das ist ein Programm, wurde auch kurz erwähnt, mit dem Imaginary, mit dem wir groß geworden sind und das ist ein algebraischer, also ein Raytracer von algebraischen Flächen in Echtzeit. Wie sieht das aus? Genau, man sieht das gut. Ich habe eine Formel hier unten, das ist eine polynomiale Gleichung, also in drei Variablen. Ich habe ein x, y und z und kann irgendwie hoch 2, 3, 4, 5 nehmen, plus und mal. Ich darf jetzt keine Sinusfunktionen hier, also nichts Kompliziertes und kann hier unten irgendwas ändern und dann sehe ich sofort die Fläche im Raum, die reelle Fläche im Raum, also die Nullstellen von dieser Gleichung sofort abgebildet. Das ist ein Programm, das superschöne Bilder erzeugt, die kann man hier auch drehen. Man kann hier mit einem Regler rein und raus zoomen, also man kann sich vorstellen, diese Flächen, die man sieht, sind mit einer Kugel abgeschnitten, also je nach Fläche sind die kompakt, also man kann die irgendwie einfangen rundherum oder sie gehen unendlich weiter. Also diese hier würde weitergehen, also hier sozusagen ist die abgeschnitten und es gibt hier auch sowas wie ein a, das ist ein Parameter, den kann man hier verstellen, also man kann hier auch noch so Parameter einbauen und das ist eine Riesenspielwiese, also man kann auch einfach irgendwie anfangen. Ich mache jetzt mal hier x ist 0, das ist jetzt die y und z darf sein, das kann alles sein, das heißt ich habe die y und z-Ebene und kann dann sagen x mal x ist nur ein Punkt hier, x mal y habe ich zwei Ebenen, x mal y mal z hätte ich jetzt schon drei Ebenen. Das heißt, wenn ich hier multipliziere, kann ich ein Bild addieren, weil das immer ist gleich 0, das muss man sich dazu denken und ich kann aber auch sowas wie eine Kugel zum Beispiel x² plus y² plus z² ist gleich 1, so eine klassische Kugel mit Radius 1. Ich kann jetzt ein bisschen höher zoomen, hier habe ich eine Kugel. Wenn ich noch was addieren will, zum Beispiel einen Saturn, dann mache ich hier noch ein y dazu, dann habe ich noch eine Ebene dazu. Ich kann auch schneiden, das ist ganz interessant, also nicht nur addieren, das ist ein bisschen komplizierter jetzt, muss man sich algebraisch überlegen, also ich könnte jetzt sagen, die erste Gleichung zum Quadrat plus die zweite Gleichung zum Quadrat und dann muss ich aber noch irgendwas kleines abziehen, ich mache jetzt mal ein a, dann habe ich hier genau den Schnitt zwischen der Fläche und der Kugel. Ich muss was kleines abziehen, weil sonst sehe ich es nicht. Wenn es nur eine hauchdünne Fläche ist, dann kann dieser Raytracer die Fläche nicht visualisieren, das heißt, hier kann ich zum Beispiel einen Ring machen, indem ich das a ein bisschen größer mache. Was spannend ist, wenn ich jetzt nicht minus a, sondern plus a mache, hier passiert gar nichts, klar, dann ist es weg. Hier ist es ganz interessant, wenn man hier aufklappt, gibt es ein paar Beispielgleichungen, es gibt ganz spannende Sachen. Hier gab es eine, damals war es noch eine Schülerin, später eine Studierende, Studentin, die hat diese Gleichung hier erfunden. Wenn man die anschaut, denkt man sich, okay, was wird daraus und man kann die dann in das Programm hineinkopieren und sieht, das ist die Gleichung des Löffels. Ganz praktisch, total schön, so eine Löffelgleichung braucht man oft. Genau, kann man auch probieren, hier gibt es die Gleichung, man sieht auch, dass es ein bisschen getrickst ist. Mal schauen, ob das funktioniert. Ich mache mal hier den Löffel rein, das ist auch ein Experiment. Der Löffel ist da, aber ich glaube, wenn man rauszoomt weiter, dann sieht man schon, der Löffel ist in der Mitte, aber da geht es dann noch irgendwie weiter und was auch spannend ist, diese Visualisierungen, die sind auch nicht immer korrekt. Es gibt hauchdünne Linien oder Singularitäten, die sind auch schwer zu finden und es gibt hier noch mehr Gleichungen. Also es gibt hier noch die Gleichung des Herzens, das zeige ich auch noch, weil das ganz schön ist. Das hättet ihr vielleicht schon gesehen. Achso, da muss man noch ein Mal einfügen. Genau, die Syntax muss natürlich korrekt sein, sonst funktioniert es nicht. Okay, aber es gibt auf jeden Fall eine Halbgleichung auch, da ist irgendetwas passiert. Ich muss mal schauen, ich hatte jetzt mein Hin- und Herschalten, funktioniert nicht mehr so gut. Ich muss ihn einmal kurz einstellen, tut mir leid. Was spannend ist mit diesem Surfer, da ist ganz viel passiert, damals im Jahr der Mathematik 2008, wo viele, viele Menschen algebraische Flächen erzeugt haben, denen auch lustige Namen gegeben haben und es gab Wettbewerbe, Ausstellungen in vielen Ländern, wo man diese Mischung aus Formel und Form in einer schönen, ästhetisch schönen Weise erleben konnte. Wir haben dann später auch noch ein sehr schwieriges, offenes Problem, wie kriegt man aus dieser Fläche, aus dieser re-getristen Fläche, wo ich eigentlich nur die Bildpunkte kenne, einen 3D-Druck zum Beispiel. Hier sieht man noch ein paar Beispiele von Flächen, auch von diesen Wettbewerben und was spannend ist, auch weil das Programm offen lizenziert ist, wurde es zum Beispiel hier von einem Chefkoch, so einem Michelin-Chefkoch in Malaga, zu einem Gericht umgedichtet. Er hatte so mathematische Fünf-Sterne-Küche daraus gemacht und in Slowenien landete das auch auf einer Mode-Kollektion. Es ist schön, wenn die Mathematik in den Mainstream übergeht, hier mit der Formel am Label des Kleiders drauf. Gut, jetzt geht es weiter in die Musik. Das nächste Programm heißt ScaleLab, also das Labor der Tonleitern. Jetzt muss ich mal schauen, den Tonlauter schalten hier. Ich schalte mal hier auf eine einfache Sinuswelle und einfach mal hier auf Wellenform. Hört man das? Genau. Stellt euch mal ein Klavier vor, das keine Tasten hat, sondern auf dem man alle Frequenzen hier spielen kann. Das wäre dann so. Da kann man natürlich schöne Melodien spielen. Jetzt ist es im Normalfall aber so, dass man nur endlich viele Tasten möchte. Das ist auch einfacher für die Musik. Das heißt, man muss sich überlegen, welchen Ton, welche Frequenz kann ich denn jetzt hier unten spielen? Man sieht hier die blauen Linien. Ich kann nicht alle nehmen, das heißt, ich nehme gewisse raus. Und jetzt ist die Frage, wie stimme ich denn mein Klavier? Welche nehme ich denn da? Und wie kann ich denn so Tonleitern bauen? Und welche Töne klingen denn ganz gut zusammen, wenn ich jetzt mehrere gleichzeitig spiele? Jetzt ist es interessant, man kann hier verschiedene Stimmungen sich aussuchen. Ich nehme mal die pythagoreische Stimmung. So, ich gehe mal wieder zurück und spiele mal zum Beispiel hier die zwei gemeinsam. Man sieht schon, da habe ich jetzt sozusagen die doppelte Wellenlänge. Die gemeinsam klingen auch ganz gut. Wenn ich hier eine Terz spiele oder eine Quint, dann klingt das auch ganz gut gemeinsam. Die Theorie von Pythagoras war, wenn die Zahlen klein sind, dann klingen die Töne schön zusammen. Also 3 über 2, also eineinhalbfache Wellenlänge oder eineinhalbfache Frequenz, dann genau klingt das gut. Und wenn die Zahlen höher sind, dann klingt es nicht mehr ganz so gut gemeinsam. Da gibt es jetzt noch andere Visualisierungsmöglichkeiten. Es ist natürlich auch immer ein bisschen subjektiv, wie was klingt. Wenn ich jetzt hier diese Wellen, diese zwei Frequenzen einmal x-Achse und y-Achse zusammen zeige, dann sieht man hier zum Beispiel kommt ein schönes Bild raus. Wenn ich zwei Nahetasten nehme, dann wackelt das Bild und man könnte sagen, wenn die Bilder ein bisschen stabiler sind, dann klingt es eigentlich besser. Wenn die wackeln, dann klingt es nicht so gut gemeinsam. Helmholtz, ein Physiker, hatte versucht eine Theorie zu finden und eine sogenannte Dissonanzkurve entwickelt, wo er sagt, wenn ich hier zwei Töne nehme und die in der Kurve beide relativ weit unten sind, dann klingt das gemeinsam gespielt gut. Wenn die in der Nähe sind, dann klingt das gemeinsam gespielt nicht so gut. Und mit diesem Programm kann man jetzt über diese Analyse-Tools, und man hat hier auch so einen Synthesizer, man kann sich selbst Instrumente basteln und kann jetzt auch mit Stimmungen spielen. Man kann auch sagen, ich nehme zum Beispiel eine indische Raga mit einem Grundton und da habe ich jetzt auch andere Arten von Noten. Also hier zum Beispiel. Da braucht man dann schon zwischendurch mal alle Noten. Jetzt habe ich ein ganz besonderes Exponat. Mal schauen, ob das auch hier funktioniert. Die Rosa Posaune ist keine Posaune, sondern es geht um die Stimme. Das können wir mal aufmachen. Das ist jetzt ein mathematisches Modell von dem Vokaltrakt eines Menschen. Stellt euch vor, man schneidet hier einmal quer so durch oder schaut so rein und kann jetzt hier unten die Intensität und auch die Tonhöhe einstellen, die hier generiert wird, in der Glottis heißt es, und dann sozusagen den Raum dazwischen gestalten, indem ich hier die Zunge bewege. Also hier die Höhe. Und die Nase brauche ich auch manchmal dazu. Und jetzt können wir mal versuchen, hier zum Beispiel La, La, Da muss man den Mund so machen. Und das Interessante ist, es funktioniert erstaunlich gut. Es gibt auch im Internet Videos dazu, wo Leute damit singen oder reden. Das ist ein bisschen schwierig. Da braucht man mehrere Finger dazu. Das Spannende, ich zeige mal kurz ein Video aus der Realität. Das ist eine Kernspintomographie von einem Bariton. Das mathematische Modell funktioniert über so Zylinderscheiben. Das sind in dem Modell 44 Zylinderscheiben mit verschiedenen Größen. Und da wird die Luft durchgeströmt. Also das ist auch so ein numerisches Modell von einer Strömungsgleichung. Und am Ende kommt dann eine schöne Stimme raus oder eine Stimme. Und die Nase ist wichtig. Hier steht noch plus Nase, die sieht man hier im Bild nicht, aber das ist noch eine Zylindersequenz, die noch dazugehört. Gut, weil wir schon bei Strömungsgleichungen sind, gehen wir gleich zu einem Programm, das heißt Navier Stroke. Das ist ein Wortspiel, sehen wir auch gleich, wieso. Und tauchen jetzt ein in die Mathematik des Klimawandels. Das ist auch eine Echtzeitsimulation, mit der man Flüssigkeiten oder Fluide, auch Gase, simulieren kann. Es gibt ja auch verschiedene Parameter, wo man die Dispersion oder Viskosität, verschiedene Sachen einstellen kann. Hier ist es voreingestellt. Das ist ein schönes Programm, wenn jemand ein Tablet oder so dabei hat, mit vielen Fingern gleichzeitig. Das ist ganz meditativ hier, Flüssigkeiten. Ohne, dass man etwas ankleckert, kann man hier mit Flüssigkeiten spielen. Und das ist auch wieder super viel Mathematik, das braucht auch eine gute Grafikkarte dazu, sonst würde das auch nicht so flüssig schnell laufen. Und genau, da werden in Echtzeit diese Navier -Strokes-Equations-Gleichungen gelöst. Ich habe die hier auch aufgelistet, kann mal kurz einen Überblick geben, wie die funktionieren, also Differenzialgleichungssysteme. Und es geht darum, hier die Beschleunigung der Luft zu berechnen, und die wird durch verschiedene Kräfte beeinflusst. Also es gibt den Luftdruck, so etwas wie kennt man, dass die Luft von einem Hochdruckgebiet in das Tiefdruckgebiet wandert. Dann gibt es die Coriolis-Kraft der Erde, die Erde dreht sich ja ziemlich schnell. Hier natürlich auch so etwas wie Schwerkraft und diese Parameter, die Viskosität im Inneren. Das Spannende ist, diese Gleichungen sind sehr universell einsetzbar, also auch für, ich habe hier eine Simulation von einem Freund, der Gletscherforschung macht, also sowohl Gletschereis bewegt sich mit diesen Gleichungen, aber auch Honig. Die Gleichungen sind relativ kompliziert und da kann man sich auch schnell den Kopf zerbrechen, wie das funktioniert. Aber es gibt schöne, schnelle, numerische Lösungen, auch, wie wir gesehen haben, auf der Grafikkarte. So, jetzt haben wir Forschung gehört, steigen wir ein in die Welt der künstlichen Intelligenz, das ist auch mein eigenes Forschungsgebiet und starten mit einem Programm, mit einem neuronalen Netz, das heißt neuronale Zahlen. Und da habe ich jetzt, ich starte mal ein anderes, hier gibt es verschiedene Versionen, ich starte mal hier die Vollversion. Man kann zuerst mit einem trainierten neuronalen Netz spielen. Also ich kann hier eine Zahl per Hand eingeben und sehe dann, was das neuronale Netz erkennt. Also kann ich da eine Zahl erkennen, ich kann hier irgendwas machen, und dann sieht man hier in der Mitte diese, ich bin mir sicher, es ist eine 4, je höher die Balken, umso sicherer ist sich das Netzwerk, und man kann sozusagen zuschauen, was passiert, ich kann auch irgendwas machen, ich bin mir sicher, es ist eine 8, ja gut, die 8 hat halt viele Schleifen, ist auch ganz spannend, zum Beispiel wenn man ein X macht, dann glaubt das Netzwerk auch meistens eine 8, wieso hier eine 1 rauskommt, ist auch spannend. Und hier gibt es immer die erste Aufgabe, kann man das Netzwerk austricksen, hier sieht man schon, es ist ja eigentlich keine 1, sondern eine 7, aber das hängt damit zusammen, dass dieses Netzwerk mit den amerikanischen Ziffern trainiert wurde, wo die 1 einfach nur ein Strich ist. Genau, also hier hat man ein neuronales Netz, das ist schon trainiert. Das Spannende ist jetzt, wie sieht so ein Netz aus, und wie kann ich so ein Netz trainieren. Hier habe ich jetzt ein Netz, das ist gar nicht trainiert, das fängt irgendwie zufällig an, gibt auch irgendwie zufällig ein Output, die Balken sind noch nicht besonders hoch, das ist nicht sicher, und ich kann jetzt hier sagen, bitte, ich trainiere dich jetzt, Netz, ich zeige dir immer ein Bild, und auch dann die Lösung, also ich zeige dir ein Bild von einer 5 und sage dir, das ist eine 5, ein Bild von einer 6 und sage dir, das ist eine 6. Viele Bilder hier, sagen wir mal, 6.000 Bilder, stopp mir mal kurz, und das Netzwerk versucht, ich zeige auch gleich wie, in der Mitte verschiedene Parameter anzupassen, damit dann am Ende auch wirklich das rauskommt, was rauskommen soll. Und hier sieht man schon, ich habe das jetzt, das war jetzt auch in Echtzeit, hier mit 7.000 Bildern trainiert und funktioniert schon ziemlich gut. Und das Spannende an dieser Technologie ist, dass ich jetzt, ich muss selbst nicht wissen, wie eine 8 aussieht oder wie eine 4 aussieht, sondern ich kann einfach, ich brauche Trainingsdaten, habe eine Technologie, ein neuronales Netz, und das kann mir dann diese Trainingsdaten richtig erkennen. Ich muss keine Vorschriften programmieren, ich brauche nur, unter Anführungszeichen, diese Trainingsdaten und kann es hier trainieren. Genau, es gibt hier auch für Experten noch verschiedene Architekturen, man kann sich hier aussuchen, wie das Netz intern aussieht. Ich zeige mal hier ganz kurz einen mathematischen Einblick in so ein Netz, also den Input, den man hat, den rechnen wir auf 28 mal 28 Bildpunkte runter, also ein bisschen kleiner, als man sieht. Das sind dann, ich glaube, 764 einzelne Farbwerte. Die Farbwerte sind immer zwischen 0 und 1. Das ist ein bisschen klein hier, aber man sieht es schon, 1 ist weiß, dann gibt es ein paar Grautöne und 0 wäre schwarz. Das heißt, am Ende habe ich eine Liste von diesen 764 Zahlen zwischen 0 und 1. Diese Liste, die füttere ich dann in so ein neuronales Netz. Wir schauen mal so ein Video an, wie das aussieht. Also ich habe hier vorne das Bild, die 784 sind, 784 Zahlen, genau, zwischen 0 und 1, genau diese eine Zahl. Und diese Zahlen werden jetzt mit den sogenannten Gewichten multipliziert. Also ich habe eine Zahl, multipliziere die mit dem Gewicht, also hier erster Bildpunkt 0, ist ein schwarzer Bildpunkt, mal 2, kommt 0 raus. Ich mache das jetzt für dieses Bild hier, genau, multipliziere mit allen Gewichten und zähle das dann zusammen. Das heißt, am Ende habe ich dann hier eine Summe und das ist meine Verbindung zu diesem einen versteckten Neuron hier. In der Mitte zähle ich dann noch eine Zahl dazu, es gibt einen sogenannten Bias, den zähle ich noch dazu. Und, ganz spannend, es gibt eine sogenannte Aktivierungsfunktion, das heißt, ich schneide alle negativen Zahlen ab. Ich schicke nur positive Zahlen durch, 0 oder positiv. Das mache ich immer für alle Zahlen, das heißt, ich multipliziere wieder mit den Gewichten, zähle es wieder zusammen, eine Zahl dazu, der Bias, der steuert sozusagen, wie stark ist jetzt diese Verknüpfung hier und dann vorne noch eine Aktivierungsfunktion und am Ende kommt dann der Balken raus. Ja, ich habe die Zahl erkannt oder nicht. Ja, es ist eine 1 oder eine 2. Also hier habe ich 10 Zahlen am Ende und das sind genau meine 10 Ziffern, die rauskommen sollen. Das Spannende ist, wie funktioniert das Training in der Mitte. Das Training heißt genau, ich muss diese Parameter, diese Gewichte so anpassen, dass dann am Ende auch wirklich das rauskommt, was rauskommen soll. Ich habe hier einmal kurz, was wir jetzt sozusagen grafisch angeschaut haben, nochmal hier in mathematischer Schreibweise. Das ist auch ganz schön, man kann das über so Matrizen zusammenfassen und hat dann am Ende sozusagen die Aktivierung an einer Stelle. Das ist ein bisschen so eine Schlacht mit vielen Indizes, weil man hat dann viele so versteckte Neuronen, viele versteckte Schichten, aber am Ende kann man das ganz einfach ausrechnen und hat eine Aktivierungsfunktion und der Rest ist einfach nur Multiplikation und Addition. So, jetzt ist die Frage, wie funktioniert denn jetzt dieses Training? Also ich habe diese Gewichte, aber wie passe ich diese Gewichte an? Und da gehen wir jetzt zu dem nächsten Experiment. Das heißt Gradient Descent und das ist ein Spiel. Kann man auch zu zweit spielen, ich kann mal alleine spielen. Und zwar ist da die Vorgeschichte, dass eine Piratin vor hunderten Jahren in der Karibik einen Riesenschatz versteckt hat, natürlich an der tiefsten Stelle des Ozeans. Und wir sind jetzt ein paar hundert Jahre später mit einem Forschungsboot hier und versuchen diesen Schatz zu heben. Wir können mit dem Boot nach links und nach rechts fahren und können an einer Stelle eine Sonde auf den Boden schicken. Man sieht schon hier, ich habe hier 20 Sonden zur Auswahl, die Zeit läuft auch. Ich stresse mich jetzt mal nicht. Und die Sonde ermittelt dann, wie tief ist es an dieser Stelle und wie ist der Boden an dieser Stelle beschaffen. So, ich kann jetzt mal noch irgendwo eine Sonde nach unten schicken. Und jetzt geht es darum herauszufinden, wie finde ich am schnellsten die tiefste Stelle des Ozeans. Könnt ihr euch vielleicht schon vorstellen, hier geht es zum Beispiel steil runter. Dann versuche ich mal hier weiter runter zu kommen. Oh, hier geht es noch steiler runter. Versuche ich noch weiter runter zu kommen. Ich habe jetzt gerade einen Algorithmus angewandt, nämlich den Gradient Descent, einer der wichtigsten Algorithmen in der KI, wo es darum geht, sich schrittweise an ein Minimum heranzutasten. Das Minimum wäre, hier der Fehler ist 0. Man könnte sagen, das ist so eine Fehlerfunktion, diese Kurve. Wenn man nochmal spielt, dann wird der Schatten an einer anderen Stelle versteckt, nur zur Info. Es kann auch richtig schwer sein. Ihr könnt euch überlegen, was wäre jetzt ein richtig schwieriger Boden. Zum Beispiel, wenn es ganz viele Wellen gibt. Oder ein ganz flacher Boden mit nur einer kleinen Stelle. Das ist natürlich superschwierig. Da kann man mal schauen, wie der Boden hier aussieht. Aber flach ist nie so gut. Da weiß man nicht, wo man hingeht. Und es gibt natürlich auch lokale Minima. Das heißt, das ist zum Beispiel hier so ein lokales Minimum. Das heißt, an der Stelle ist kein Schatten. Ich muss mal schauen, ob ich an irgendeiner Stelle noch tiefer komme. Vielleicht da drüben. Ja, das sieht ganz gut aus. So, genau. Jetzt kann man sich vorstellen, ich weiß jetzt, manchmal vielleicht gar nicht, bin ich in einem lokalen Minimum? Erreiche ich überhaupt ein globales Minimum? Das ist gar nicht so einfach. Aber ich weiß, wenn ich nach unten gehe, komme ich auf jeden Fall an irgendeiner Stelle an ein Minimum. Lokales Minimum. Und das ist ganz gut. Und das ist jetzt, was wir hier gemacht haben, ist sozusagen eine Parameteranpassung in einer Richtung. Das wäre jetzt ein Parameter von diesem Netzwerk. Ich mache den größer oder kleiner. Und den Fehler zu minimieren heißt, das Netzwerk macht genau das, was ich will. Also es erkennt mir zum Beispiel die Zahl 5. So, und dann passe ich halt die Parameter an. Das kann ich immer schrittweise machen. Passe diese Parameter an. Hier ist ein Parameter, also eine Richtung. In den echten großen Netzwerken habe ich Millionen Parameter oder Tausende von Parametern. Gut, genau. Hier vielleicht nochmal ein Bild. Das sind die Trainingsdaten von diesem Beispiel, den neuen Zahlen. Man sieht hier, es wurde mit einem geraden Strich für die 1 trainiert. Das Interessante bei diesen Technologien oder bei dieser Technologie ist, dass es aber trotzdem irgendwie generalisiert. Das heißt, es lernt zwar mit dem einen Strich, aber irgendwie erkennt es dann, wenn da oben noch ein kleines Häkelchen dran ist, für die deutschgeschriebene 1 zum Beispiel, wird es immer noch erkannt. Oder wenn nicht, hier bei der 4 zum Beispiel gibt es auch verschiedene Schreibweisen der 4. Und das ist auch die Stärke von diesen neuronalen Netzen, wenn man die nicht zu ganz genau trainiert, dass die auch so generalisieren können. Gut, ich schaue mal auf die Uhr, wir haben noch 20 Minuten, dann würde ich einfach noch ein paar Experimente dazu machen. Ich hatte nämlich hier unten noch Bonus-Experimente für alle Fälle dazu getan. Auch für später oder zum Spaß. Ich gehe mal in mein eigenes Forschungsgebiet hier. Stochastische Prozesse in der KI, in maschinellem Lernen. Das sogenannte Reinforcement Learning. Wir fangen mal mit einem Spiel an. Das Spiel funktioniert so, wir haben hier Kärtchen. Ich habe 10 Spielzüge und ich kann irgendein Kärtchen aufdecken. Ich fange mal an. Da sind zufällig Zahlen versteckt. Und das Ziel ist, in 10 Spielzügen die möglichst höchste Summe zu kriegen. Ich kann auch die gleiche Karte nochmal aufmachen. Jetzt ist die Frage, was mache ich jetzt mit meinem zweiten Spielzug. Mach mal hier nochmal auf, plus 9, minus 25. Soll ich ein neues aufmachen oder soll ich die plus 9 nehmen? Vielleicht machen wir noch ein neues auf. Noch 6 Spielzüge habe ich. Okay, ich bleibe mal bei der plus 9. Jetzt ist es total spannend zu sehen. Man kann da jetzt eine Simulation laufen lassen. Hier so eine Monte Carlo Methode. Ich lasse das einfach eine Million mal oder hundert Millionen mal durchrechnen. Und überlege mir mal, an welcher Stelle mache ich ein neues Kärtchen auf. Und an welcher Stelle nehme ich nochmal das bisher höchste Kärtchen. Was glaubt ihr denn, bei 10 Spielzügen, wie oft versuche ich etwas Neues zu entdecken? Und an welcher Stelle nutze ich die beste Zahl bisher? Jetzt habe ich 4, 5. Was glaubt ihr denn? 4 oder 5 mal? Vielleicht noch einmal. Na gut, dann bleibe ich jetzt mal hier. Ich zeige mal hier die Statistik. Wenn man das jetzt einfach hier ausrechnet, sieht man zum Beispiel, wenn ich immer bei der ersten Karte bleibe oder immer eine andere Karte nehme, ist in Summe das Gleiche. Fast das Gleiche hier. Und am besten ist, wenn ich 4 mal aufdecke und dann bei dem Höchsten bleibe. In diesem Beispiel. Es hängt ein bisschen natürlich ab, wie hier die Zufallsverteilung ist. Wir haben versucht, einen ein bisschen komplizierteren Zufallsgenerator zu bauen. Es gibt manchmal auch nur negative Zahlen oder ganz hohe Zahlen. Aber im Allgemeinen gibt es eben diese Problematik, an welcher Stelle probiere ich jetzt immer wieder neue Sachen aus und an welcher Stelle bleibe ich bei der bisher Besten? Ich kenne das persönlich auch immer, wenn ich in einen Eisladen gehe und dann gibt es hier Schokolade, mein Lieblingseis. Aber dann gibt es auch hier vielleicht irgendwie Schafskäse, Minz. Und dann ist halt die Frage, soll ich jetzt Schafskäse, Minz ausprobieren oder bleibe ich bei der Schokolade, gehe auf Nummer sicher und esse 3 Kugeln Schokolade? Natürlich könnte hier auch minus 25 herauskommen, aber es könnte natürlich auch plus 200 sein, weil die Mischung sehr lecker ist. Man kennt das vielleicht auch von den Urlaubszielen. Da fahre ich jetzt wieder an den gleichen Ort oder probiere ich mal was Neues. Und das ist ein interessantes Konzept. Neues entdecken oder schon bewährtes wiederverwenden. Und da gibt es hier eine maschinelle Lernmethode, die heißt Reinforcement Learning oder bestellkennendes Lernen, wenn man will auf Deutsch. Und da geht es darum, wie können Agenten lernen, jetzt als Technologie, ganz anders als ein neuronales Netz, ohne Vorwissen. Das heißt, ich habe hier so einen Roboter und der hat verschiedene Aktionen oder einen Agent, das kann auch ein Computerspiel sein. Und der hat verschiedene Aktionen und der kriegt eine Belohnung. Der lernt über Belohnungen. Das ist auch so wie für Menschen, wenn ich auf eine heiße Herdplatte greife, dann ist das eine negative Belohnung, wenn man so will, oder eine Bestrafung. Dann werde ich das nicht nochmal machen. Wenn ich hier das Schokoeis esse, dann freut mich das und dann werde ich versuchen, das nochmal zu essen. Also man versteckt Aktionen, die einem guttun und vermeidet Aktionen, die einem nicht guttun. Und das ist ein bisschen so wie hier. Also hier kriegt er diese Bonbons, da ist die Belohnung gut. Wenn er hier in so ein Lavafeld reinläuft, dann kriegt er keine gute Belohnung. Und wenn er hier zum Ende kommt, dann kriegt er eine Riesenbelohnung. Das Interessante an diesem Lernen ist, ich muss nur diese Belohnungen definieren und der Roboter versucht aber dann selbst zu lernen. Ich lasse ihn jetzt hier mal herumlaufen, der lernt jetzt mal. Und man kann sich das so vorstellen, das wird zum Beispiel bei Schach verwendet. Hier diese Alpha oder auch bei Go, AlphaGo oder diese Schachprogramme. Die Belohnung ist, du gewinnst am Ende, aber die einzelnen Züge, wie man zum Ende kommt, die muss der Roboter selbst herausfinden. Das heißt, er muss Aktionen probieren, ausprobieren, erkunden. Hier sind wir wieder bei diesem Dilemma Ausnutzen von Wissen oder Erkunden. Also hier, wenn ich zum Beispiel sage, nur erkunden, dann fährt er nur zufällig herum. Und wenn ich sage, nur ausnutzen, dann fährt er immer nur den besten Weg. Dieser Roboter hier, der lernt jetzt schon eine Weile. Ich kann es auch ein bisschen beschleunigen. Am Anfang, klar, ist ein bisschen zufällig. Muss mal schauen, ob er es irgendwann mal schafft, hier zum Ziel zu kommen. Fährt er wieder ein bisschen herum zufällig. Und was er jetzt macht, er baut sich im Hintergrund so eine Wissenskarte auf. Ich mache das mal auf. Und im Grunde schaut er nur, was ist die erwartete Belohnung, wenn ich an einem Feld stehe. Also zum Beispiel hier oben neben dem Ausgang, was ist meine erwartete Belohnung? Er kriegt beim Ausgang plus 50. Das heißt, wenn ich ein Feld vorher bin, für jedes Feld, das er fährt, verliert er eins, also minus eins. Das heißt, da kriegt er 49. Wenn er noch in der Nähe ist, kriegt er 48. Das heißt, da oben weiß er schon, das ist immer der beste Weg dorthin. Den Rest muss er noch entdecken. Da ändern sich jetzt auch immer die Zahlen, wenn er hier herumfährt. Ich kann ihn noch ein bisschen schneller lernen lassen. Und genau, dauert ein bisschen. Und er baut sich so eine Value Map, heißt es, wie so eine Karte auf, mit den erwartenden langfristigen Belohnungen. Und die definieren dann die besten Aktionen für den Roboter. Im Moment macht er so eine Mischung. Man sieht hier unten diesen Balken zwischen Ausnutzen und Erkunden. Er nutzt ein bisschen aus und erkundet ein bisschen. Und man könnte sagen, ich mache jetzt zum Beispiel nur Erkunden. Dann fährt er nur zufälliger herum. Er kann immer noch trotzdem weiter lernen. Oder ich sage, bitte fahr den besten Weg. Und hier unten weiß er vielleicht noch nicht, wo das Ziel ist, aber hier oben hat er es vielleicht schon gelernt. Und jetzt weiß man zum Beispiel, wenn er hier startet, hat er schon den besten Weg und fährt dann immer direkt ins Ziel. Man kann sich jetzt auch wieder die Karte anschauen. Er fährt immer dorthin, wo es die höchsten Belohnungen gibt. Und das Schöne an diesem Lernverfahren ist, dass es algorithmisch, also von der Informatik oder zum Programmieren her, ganz einfach ist. Man muss immer nur sozusagen von einem Feld zum nächsten rechnen und dann wieder von einem Feld zum nächsten. Und am Ende hat er aber auch dann die, auch mathematisch bewiesen, die beste Policy, heißt es, also den besten Weg, um ans Ziel zu kommen. Und das ist auch hier ganz spannend, dass man hier auch richtig beweisen kann, dass es auch immer so einen besten Weg gibt in diesen Prozessen. Gut, so, ich schaue mal, vielleicht noch ein Beispiel. Was kann man denn noch machen? Vielleicht noch zum Abschluss ein Logikspiel. Genau, hier haben wir eine Astronautin im Weltraum und die kann sich nur bewegen, wenn sie auf ein Hindernis stößt. Also hier zum Beispiel könnte sie sich nach unten bewegen und würde dann hier stoppen vor diesem Satelliten. Und das Ziel ist es, die Astronautin zu ihrer Rakete zu bringen. So, das kann man sich hier schon vorstellen. Und für die Satelliten gilt dasselbe. Ich kann die verschieben, aber immer auch nur so weit, bis sie irgendwo landen. Also ich kann jetzt zum Beispiel hier die Astronautin da runter schicken, dann könnte ich hier den Satelliten hier hinschicken, die Astronautin hier rüber und habe den ersten Level geschafft. So, genau, das ist auch noch einfach. Gut, was machen wir hier? Hat jemand eine Lösung? Ich sehe es gerade nicht. Könnte ich den da rüber schicken? Vielleicht den so rauf? Genau, und wieder weiter. Und es wird immer schwieriger und was hier die Herausforderung war, es gibt viele von diesen Sliding-Puzzle-Spielen und hier jetzt für uns, auch als Mathematiker, zum einen genau die Levels zu generieren, also Levels zu generieren, die lösbar sind. Das kann man auch iterativ machen oder sozusagen einmal durchspielen und wenn ich eine Lösung habe, dann habe ich so ein Level. Aber dann, und das ist das Schwierige, den Schwierigkeitsgrad zu definieren. Wann ist ein Level schwierig? Und hier haben wir so einen Level-Generator, auch immer wenn man das neu startet, werden neue Level generiert, aber einzuteilen, wann ist ein Level schwierig, ist gar nicht so einfach und ist auch hier in der Puzzle-Spiel-Mathematik ein großes Problem. Es ist nicht nur die, also kann man sich überlegen, vielleicht die Anzahl der Spielzüge, aber vielleicht ist es manchmal auch ganz logisch. Ich habe immer nur einen Zug und dann ist die Anzahl der Spielzüge nicht unbedingt eindeutig ein Indiz für Schwierigkeit. Oder auch so, wie wir vorher gesehen haben, ich muss dann vielleicht die Astronauten einmal in die Richtung, einmal in die Richtung spielen oder die Satelliten dreimal hin und her. Und man sieht schon, also klar könnte man sagen, es gibt noch viel mehr Satelliteninteraktion zum Beispiel, aber das ist zum Beispiel ein schwieriger Level, der gar nicht so viele Satelliten hat und man kann sich überlegen, wie man da spielt. Wir arbeiten in der Mathematikkommunikation recht viel mit Spielen. Vielleicht auch ein kleiner Hinweis, der nächste internationale Tag der Mathematik, der ist immer am 14. März, der hat das Motto Spielen mit Mathematik und da wird es auch viele Spiele geben. Gut, ich komme mal langsam zum Ende. Eine Sache wollte ich noch sagen, es gibt von Niki Kees, das ist eine Person, die ganz viel super spannende Mathematikkommunikation macht. Ich weiß nicht, ob jemand Niki kennt. Und Niki hatte mal bei einem Vortrag gesagt, man sollte immer zuerst die Sachen zeigen und erst danach darüber erzählen. Und seit ich das gehört habe, habe ich mir gedacht, ja stimmt, das macht eigentlich total Sinn. War jetzt auch ein bisschen so die Idee hier, man zeigt das Experiment und erst danach erzählt man, was passiert. Und man erwischt sich aber total oft, dass man immer zuerst erzählen will und danach zeigen. Das ist irgendwie so in uns drin. Ich erkläre mal, was wir machen, das funktioniert so, das ist so, das ist so. Aber eigentlich ist dieser Moment, man ist schon in der Sandkiste, man hat schon gespielt und dann gibt es die Physik des Sandes und des Wassers drin. Ja, es wurde vorher schon erwähnt, ganz kurz, wir entwickeln diese Exponate, sehr viel softwarebasiert, aber es gibt auch viele physische Sachen, immer gemeinsam mit Mathematikerinnen. Wir sind eine gemeinnützige Organisation, also wir kommen aus der akademischen Welt, machen das alles non -profit, auch weltweit und haben eben diesen offen lizenzierten Ansatz. Das heißt, wir entwickeln ein Exponat, oft ist es dann gefördert und danach kann es aber weltweit kopiert werden. Also viele, ob das jetzt Museen sind oder Universitäten, die übernehmen diese Exponate. Und hier ein Hinweis für alle zukünftigen Mathematikerinnen oder auch anderen Wissenschaftlern, wir arbeiten an einem großen Projekt, auch ein DFG-Projekt, auch zusammen mit der DMV, das heißt MARDI und da geht es um mathematische Forschungsdateninfrastruktur. Und ich habe schon erwähnt, diese Open-Source -Logik hier in der Wissenschaftskommunikation ist total wichtig, aber in der Forschung ist es umso wichtiger, also Open Science als Schlagwort hier. Und es tut sich unglaublich viel in dem Bereich Forschungsdaten. Und in der Mathematik ist es ganz besonders schwierig auch zu sehen, was sind denn alles Forschungsdaten. Das sind genauso die Formeln, der Quellcode dazu, Modelle, natürlich auch echte Daten, die man hat, aber im Prinzip alles, mit dem man arbeitet. Und es gibt diese sogenannten Fair-Prinzipien, wo es darum geht, dass man eben diese Daten fair macht. Das heißt, man legt die so ab, dass man die einfach auffinden kann, dass man die auch zugreifen kann, also dass da keine Paywall oder irgendwas dazwischen ist, oder dass die Daten auch miteinander funktionieren. Also ich habe hier vielleicht so einen Benchmark -Test, der funktioniert dann auch mit anderen Daten, dass es da Schnittstellen gibt und dass man die Daten auch wirklich wiederverwenden kann. Und das ist ein sehr großes und sehr wichtiges Projekt und ich finde, man kann es gar nicht oft genug erwähnen, dass wir versuchen, die Daten nachhaltig aufzubereiten. Gut, dann bin ich hier am Ende angelangt und bedanke mich für die gemeinsame Reise und bin gern hier für Fragen noch.